Nombres premiers divisant un produit

Corollaire

Soit \(p \in \mathcal{P}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

1. Soit \(a_1\) , \(a_2\) , ..., \(a_n \in \mathbb{N}^\ast\) .
Si \(p\) divise \(a_1a_2...a_n\) , alors il existe \(k \in \left\lbrace 1;...;n \right\rbrace\) tel que \(p\) divise \(a_k\) .
Autrement dit, si \(p\) divise un produit, alors \(p\) divise au moins l'un des facteurs de ce produit.

2. Soit \(p_1\) , \(p_2\) , ..., \(p_n \in \mathcal{P}\) .
Si \(p\) divise \(p_1p_2...p_n\) , alors il existe \(k \in \left\lbrace 1;...;n \right\rbrace\) tel que \(p=p_k\) .
Autrement dit, si \(p\) divise un produit de facteurs premiers, alors \(p\) est égal à l'un de ces facteurs.

Démonstration

1. On itère le raisonnement fait pour démontrer la propriété précédente.

2. D'après le premier point, il existe \(k \in \left\lbrace 1;...;n \right\rbrace\) tel que \(p\) divise \(p_k\) .
Or \(p_k\) est premier, donc ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p_k\) .
On en déduit que \(p=1\) ou \(p=p_k\) .
Or \(p\) est premier, donc \(p>1\) . Par conséquent, \(p=p_k\) .

Corollaire

Soit \(p \in \mathcal{P}\) , \(a \in \mathbb{N}^\ast\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .
Si \(p\) divise \(a^n\) , alors \(p\) divise \(a\) .

Démonstration

On applique le corollaire précédent avec \(a_1=a_2=...=a_n=a\) .