Nombres premiers divisant un produit

Corollaire

Soit $p\in \mathcal{P}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .

1. Soit $a_1$ , $a_2$ , ..., $a_n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .
Si $p$ divise $a_1{a}_2...a_n$ , alors il existe $k\in \{1;...;n\}$ tel que $p$ divise $a_k$ .
Autrement dit, si $p$ divise un produit, alors $p$ divise au moins l'un des facteurs de ce produit.

2. Soit $p_1$ , $p_2$ , ..., $p_n\in \mathcal{P}$ .
Si $p$ divise $p_1{p}_2...p_n$ , alors il existe $k\in \{1;...;n\}$ tel que $p=p_k$ .
Autrement dit, si $p$ divise un produit de facteurs premiers, alors $p$ est égal à l'un de ces facteurs.

Démonstration

1. On itère le raisonnement fait pour démontrer la propriété précédente.

2. D'après le premier point, il existe $k\in \{1;...;n\}$ tel que $p$ divise $p_k$ .
Or $p_k$ est premier, donc ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $p_k$ .
On en déduit que $p=1$ ou $p=p_k$ .
Or $p$ est premier, donc $p>1$ . Par conséquent, $p=p_k$ .

Corollaire

Soit $p\in \mathcal{P}$ , $a\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .
Si $p$ divise $a^n$ , alors $p$ divise $a$ .

Démonstration

On applique le corollaire précédent avec $a_1=a_2=...=a_n=a$ .